Produto Vetorial

Dados dois vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ no espaço R³, o produto vetorial entre eles, denotado por $\vec{u} \times \vec{v}$, é um vetor que possui as seguintes características:

• Sua direção é perpendicular ao plano formado pelos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$.
• Seu módulo é dado por $|\vec{u} \times \vec{v}| = |\vec{u}| \cdot |\vec{v}| · sen(\theta)$, onde $\theta$ é o ângulo entre os vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$
• Seu sentido é determinado pela “regra da mão direita”: ao posicionar os dedos da mão direita na direção do primeiro vetor e fechá-los na direção do segundo, o polegar estendido apontará na direção do produto vetorial

Formalmente, se $\vec{u} = (a_1, a_2, a_3)$ e $\vec{v} = (b_1, b_2, b_3)$, então:

$$\vec{u} \times \vec{v} =
\begin{vmatrix}
i & j & k \\
a_1 & a_2 & a_3 \\
b_1 & b_2 & b_3
\end{vmatrix}$$

Expansão do determinante:

$$\vec{u} \times \vec{v} =
i \begin{vmatrix}
a_2 & a_3 \\
b_2 & b_3
\end{vmatrix}
-j \begin{vmatrix}
a_1 & a_3 \\
b_1 & b_3
\end{vmatrix}
+ k \begin{vmatrix}
a_1 & a_2 \\
b_1 & b_2
\end{vmatrix}$$

Calculando os determinantes das matrizes 2×2:

$$\vec{u} \times \vec{v} = (a_2 b_3 – a_3 b_2)i + (a_3 b_1 – a_1 b_3)j + (a_1 b_2 – a_2 b_1)k$$

Esscrevendo suas componentes:

$$\vec{u} \times \vec{v} = (a_2b_3 – a_3b_2,a_3b_1 – a_1b_3 , a_1b_2 – a_2b_1)$$