Módulo de um Número Real
1. O que é um módulo?
O módulo de um número real é, em sua essência, a distância desse número até o zero na reta numérica. Como distâncias são sempre valores não negativos, o módulo de qualquer número real será sempre um valor maior ou igual a zero.
Indicamos o módulo de um número real x por |x|.
2. Definição Formal do Módulo
Matematicamente, o módulo de um número real x é definido da seguinte forma:
$$
|x| = \begin{cases}
x, & \text{se } x \geq 0 \\
-x, & \text{se } x < 0
\end{cases}
$$
Isso significa que:
Se x é um número positivo ou zero, o módulo de x é o próprio x.
- (Ex: $|5| = 5$, $|0| = 0$)
Se x é um número negativo, o módulo de x é o seu oposto (o número com o sinal trocado). Lembre-se que o oposto de um número negativo é um número positivo.
- (Ex: $|-3| = -(-3) = 3$)
Pontos Importantes:
O módulo de um número real é sempre maior ou igual a zero (|x| ≥ 0), para qualquer número real x.
3. Exemplos Práticos
Vamos aplicar a definição em alguns exemplos:
a. $|1| = 1$, pois 1 é maior ou igual a 0.
b. $|-7| = -(-7) = 7$, pois -7 é menor que 0 (e seu oposto é 7).
c. $|0| = 0$, pois 0 é maior ou igual a 0.
d. $|-3| = -(-3) = 3$, pois -3 é menor que 0 (e seu oposto é 3).
e. $√(x²) = |x|$. A raiz quadrada de um número ao quadrado sempre resulta em um valor positivo (ou zero), que é exatamente a definição de módulo.
Por exemplo, $√((-2)²) = √(4) = 2$, que é $|-2|$.
Propriedades do Módulo
As propriedades do módulo são regras que nos ajudam a manipular expressões que envolvem valor absoluto.
Não Negatividade: |x| ≥ 0, para todo x ∈ ℝ
O módulo de qualquer número real é sempre maior ou igual a zero.
Simetria: |x| = |-x|, para todo x ∈ ℝ
Um número e seu oposto têm o mesmo módulo, pois estão à mesma distância do zero na reta numérica.
Exemplo: |5| = 5 e |-5| = 5.
Multiplicação: |x ⋅ y| = |x| ⋅ |y|, para todo x, y ∈ ℝ
O módulo do produto de dois números é igual ao produto dos módulos desses números.
Verificação:
Se x ≥ 0 e y ≥ 0, então |x ⋅ y| = xy e |x| ⋅ |y| = xy.
(Ex: |2⋅3| = |6| = 6, |2|⋅|3| = 2⋅3 = 6)
Se x > 0 e y < 0, então |x ⋅ y| = -xy (pois xy seria negativo) e |x| ⋅ |y| = x ⋅ (-y) = -xy.
(Ex: |2⋅(-3)| = |-6| = 6, |2|⋅|-3| = 2⋅3 = 6)
Se x < 0 e y ≥ 0, então |x ⋅ y| = -xy e |x| ⋅ |y| = (-x) ⋅ y = -xy.
(Ex: |-2⋅3| = |-6| = 6, |-2|⋅|3| = 2⋅3 = 6)
Se x < 0 e y < 0, então |x ⋅ y| = xy (pois xy seria positivo) e |x| ⋅ |y| = (-x) ⋅ (-y) = xy.
(Ex: |-2⋅(-3)| = |6| = 6, |-2|⋅|-3| = 2⋅3 = 6)
Divisão: |x / y| = |x| / |y|, para todo x, y ∈ ℝ, com y ≠ 0
Significado: O módulo do quociente de dois números é igual ao quociente dos módulos desses números.
Observação: Esta propriedade é uma consequência direta da propriedade da multiplicação.
Desigualdade Triangular: |x + y| ≤ |x| + |y|, para todo x, y ∈ ℝ
Significado: O módulo da soma de dois números é sempre menor ou igual à soma dos módulos desses números. Essa propriedade é muito importante e aparece em diversas áreas da matemática.
Exemplo:
|2 + 3| = |5| = 5 e |2| + |3| = 2 + 3 = 5. (5 ≤ 5, igualdade ocorre quando os números têm o mesmo sinal ou um deles é zero)
|2 + (-3)| = |-1| = 1 e |2| + |-3| = 2 + 3 = 5. (1 ≤ 5, desigualdade estrita ocorre quando os números têm sinais opostos)