Produto Misto
1. Conceito de Produto Misto
O produto misto é uma operação da álgebra vetorial envolvendo três vetores no espaço (ℝ³). Essa operação é fundamental em matemática, física e áreas de engenharia, pois permite calcular o volume de um paralelepípedo definido por três vetores.
Definição
Dado três vetores $\vec{u}$, $\vec{v}$ e $\vec{w}$, o produto misto é definido como:
$(\vec{u},\vec{v},\vec{w})=(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}$
2. Fórmula do Produto Misto
Usando determinante:
Sejam
$\vec{u} = (u_1, u_2, u_3)$
$\vec{v} = (v_1, v_2, v_3)$
$\vec{w} = (w_1, w_2, w_3)$
Então,
$$(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) =
\begin{vmatrix}
u_1 & u_2 & u_3 \\
v_1 & v_2 & v_3 \\
w_1 & w_2 & w_3
\end{vmatrix}$$
Ou seja, calcule o determinante da matriz formada pelos componentes dos três vetores.
Propriedades Importantes
- O produto misto pode ser positivo, negativo ou nulo.
- O valor absoluto do produto misto dá o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores.
- Se o produto misto for zero, os vetores são coplanares (estão no mesmo plano).
3. Exemplos Resolvidos
Exemplo 1: Cálculo direto do produto misto
Calcule o produto misto dos vetores u = (1, 0, 2), v = (0, 1, 1) e w = (2, -1, 3).
Solução:
Montando o determinante:
$$(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) =
\begin{vmatrix}
1 & 0 & 2 \\
0 & 1 & 1 \\
2 & -1 & 3
\end{vmatrix}$$
Resposta:
O produto misto é 0, portanto, os vetores são coplanares.
Exemplo 2: Produto misto diferente de zero
Calcule o produto misto dos vetores u = (1, 2, 3), v = (0, 1, 2) e w = (1, 0, 1).
Solução:
$$(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) =
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 \\
0 & 1 & 2 \\
1 & 0 & 1
\end{vmatrix}$$
Resposta:
O produto misto é 2.
Exemplo 3: Volume de um paralelepípedo
Quais são o produto misto e o volume do paralelepípedo definido pelos vetores a = (2, 0, 1), b = (1, 1, 0) e c = (0, 2, 2)?
Solução:
Determinante:
$$(\vec{u},\vec{v},\vec{w}) =
\begin{vmatrix}
2 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
0 & 2 & 2
\end{vmatrix}$$
Resposta:
Produto misto: 6
Volume: 6 unidades cúbicas.
4. Exercícios Propostos
- Calcule o produto misto dos vetores u = (1, 3, 2), v = (2, -1, 4) e w = (0, 2, 1).
- Verifique se os vetores a = (2, 0, -1), b = (1, 1, 2) e c = (3, 1, 1) são coplanares usando o produto misto.
- Determinar o volume do paralelepípedo determinado por a = (3, 1, 2), b = (2, -2, 1) e c = (1, 1, 1).
- Se u = (1, 1, 0), v = (2, 1, 1), w = (0, 1, 2), calcule o produto misto.
- Os vetores a = (1, 2, 3), b = (4, 5, 6) e c = (7, 8, 9) são coplanares? Justifique usando o produto misto.