Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo
1. Triângulo Retângulo
Um triângulo retângulo é um triângulo que possui um ângulo interno reto, ou seja, de 90°. Os lados desse triângulo possuem nomes específicos:
- Hipotenusa: O maior lado, oposto ao ângulo reto.
- Cateto oposto: O cateto que está de frente para o ângulo que queremos analisar.
- Cateto adjacente: O cateto que está ao lado do ângulo analisado e forma, com ele, o ângulo reto.
2. Razões Trigonométricas Principais
As razões trigonométricas relacionam os lados do triângulo retângulo para um ângulo agudo (≠ 90°):
- seno (sen)
- cosseno (cos)
- tangente (tan)
Relacionamentos
$$
\tan(\alpha) = \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}
$$
Os valores dessas razões dependem apenas do ângulo e não do tamanho do triângulo.
Definições e Fórmulas
Para um triângulo retângulo qualquer, tomando um ângulo α, temos:
$$
\sin(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}}
$$
$$
\cos(\alpha) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}}
$$
$$
\tan(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}}
$$
3. Exemplos Resolvidos
3.1. Exemplo 1 — Cálculo das razões para um triângulo
Em um triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo α mede 3 cm, o cateto adjacente mede 4 cm e a hipotenusa mede 5 cm. Calcule sen(α), cos(α) e tan(α).
Resolução:
$$\sin(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{hipotenusa}} =\frac{3}{5} = 0,6$$
$$\cos(\alpha) = \frac{\text{cateto adjacente}}{\text{hipotenusa}} = \frac{4}{5} =0,8$$
$$\tan(\alpha) = \frac{\text{cateto oposto}}{\text{cateto adjacente}} = \frac{3}{4} = 0,75$$
3.2. Exemplo 2 — Ângulo notável de 45°
Num triângulo retângulo isósceles, os catetos medem 1 cm. Calcule as razões trigonométricas para o ângulo de 45°.
Hipotenusa = √(1² + 1²) = √2 cm
sen(45°) = 1 / √2 ≈ 0,707
cos(45°) = 1 / √2 ≈ 0,707
tan(45°) = 1 / 1 = 1
3.3. Exemplo 3 — Aplicação com ângulo de 30°
Em um triângulo retângulo, o cateto oposto ao ângulo de 30° mede 2 cm. Qual a medida da hipotenusa?
Resolução:
sen(30°) = cat. oposto / hipotenusa
0,5 = 2 / hipotenusa
Hipotenusa = 2 / 0,5 = 4 cm
3.4. Exemplo 4 — Inclinação de uma rampa
Uma rampa tem 5 m de comprimento (hipotenusa) e inclinação de 60°. Qual a altura (cateto oposto) que ela alcança?
Resolução:
sen(60°) = cat. oposto / hipotenusa
0,866 ≈ h / 5
h = 0,866 × 5 ≈ 4,33 m
3.5. Exemplo 5 — Encontrando ângulo com tangente
Em um triângulo retângulo, cat. oposto = 6, cat. adjacente = 6√3. Qual o valor aproximado de α?
Resolução:
tan(α) = 6 / (6√3) = 1 / √3 ≈ 0,577
Procurando na tabela, tan(30°) ≈ 0,577 ⇒ α ≈ 30°
Tabela de Ângulos Notáveis
| ÂNGULO | SEN(Θ) | COS(Θ) | TAN(Θ) |
|---|---|---|---|
| 30° | 1/2 ≈ 0,5 | √3/2 ≈ 0,866 | 1/√3 ≈ 0,577 |
| 45° | 1/√2 ≈ 0,707 | 1/√2 ≈ 0,707 | 1 |
| 60° | √3/2 ≈ 0,866 | 1/2 = 0,5 | √3 ≈ 1,732 |
4. Exercícios Propostos
4.1. Exercício 1
Num triângulo retângulo, o cateto oposto a um ângulo de 30° mede 7 cm. Qual o comprimento da hipotenusa?
4.2. Exercício 2
Calcule a altura de um edifício se a sombra projetada mede 12 m, formando um ângulo de 45° com o solo.
4.3. Exercício 3
Em um triângulo retângulo, o cateto adjacente a um ângulo de 60° mede 8 cm. Qual o valor do cateto oposto?
4.4. Exercício 4
Para escalar um morro, João sobe uma ladeira que faz ângulo de 30° com o plano horizontal e percorre 50 m de rampa. Qual a altura atingida?