Equações Logarítmicas
1. Definição
Definição de Logaritmo: O logaritmo de um número positivo $n$ na base $a$ (sendo $a > 0$ e $a ≠ 1$) é o expoente $x$ ao qual devemos elevar $a$ base a para obter o número $n$.
Matematicamente: Se $a^x = n$, então $log_a(n) = x$
Por exemplo:
1) $log(100) = 2$, pois $10^2 = 100$.
2) $log_2(4) = 2$, pois $2^2 = 4$.
3) $log_3(27) = 3$, pois $3^3 = 27$.
2. Propriedades Básicas dos Logaritmos
2.1. Propriedade do Produto: $log_a(m \cdot n) = log_a(m) + log_a(n)$
Exemplo: $log(100 \cdot 1000) = log(100) + log(1000) = 2 + 3 = 5$
2.2. Propriedade do Quociente: $log_a\left(\frac{m}{n}\right) = log_a(m) – log_a(n)$
Exemplo: $log\left(\frac{1000}{10}\right) = log(1000) – log(10) = 3 – 1 = 2$
2.3. Propriedade da Potência: $log_a(n)^p = p \cdot log_a(n)$
Exemplo: $log(10^3) = 3 \cdot log(10) = 3 \cdot 1 = 3$
2.4. Propriedade da Base Igual ao Argumento: $log_a(a) = 1$
Exemplo: $log(10) = 1$
2.5. Propriedade do Logaritmo de 1: $log_a(1) = 0$
Exemplo: $log(1) = 0$
2.6. Propriedade da Mudança de Base: $log_a(n) = frac{log_b(n)}{log_b(a)}$
Exemplo: $log_2(8) = \frac{log(8)}{log(2)} \approx \frac{0,9031}{0,3010} = 3$
2.7. Propriedade do Logaritmo da Base: $log_a(a)^n = n$
Exemplo: $log_2(2)^3 = 3$
3. Domínio dos Logaritmos
É importante ressaltar que a função logarítmica $\log_a(x)$ é definida apenas quando:
$x > 0$ (o argumento do logaritmo deve ser positivo)
$a > 0$ e $a \neq 1$ (a base deve ser positiva e diferente de 1)
4. Classificação e Tipos de Equações Logarítmicas
4.1. Equações Logarítmicas Simples
São equações que contêm um único termo logarítmico, geralmente na forma:
$\log_a(f(x)) = b$, onde $f(x)$ é uma função da incógnita $x$ e $b$ é uma constante.
Exemplo: $\log_3(2x+1) = 2$
4.2. Equações Logarítmicas Compostas
São equações que contêm dois ou mais termos logarítmicos, podendo envolver:
- Somas ou diferenças de logaritmos: $\log_a(f(x)) + \log_a(g(x)) = c$
- Produtos ou quocientes: $\log_a(f(x)) \cdot \log_a(g(x)) = d$
Exemplo: $\log_2(x+3) + \log_2(x-1) = 3$
5. Passo a Passo para Resolução de Equações Logarítmicas
5.1. Isolamento do Logaritmo
O primeiro passo é isolar o termo logarítmico em um dos lados da equação, quando possível.
Exemplo: Resolver
$2 \cdot \log(x) – 3 = 5$
$2 \cdot \log(x) = 8$
$\log(x) = 4$
5.2. Transformação em Forma Exponencial
Após isolar o logaritmo, transformamos a equação em sua forma exponencial.
Continuando o exemplo anterior:
$\log(x) = 4$
$10^4 = x$
$x = 10.000$
5.3. Aplicação das Propriedades dos Logaritmos
Em equações compostas, frequentemente precisamos aplicar as propriedades dos logaritmos.
Exemplo: Resolver
$\log_3(x) + \log_3(x+2) = 1$
$\log_3(x(x+2)) = 1$ (propriedade do produto)
$\log_3(x^2 + 2x) = 1$
$x^2 + 2x = 3^1$ (forma exponencial)
$x^2 + 2x = 3$
$x^2 + 2x – 3 = 0$
$x = -3$ ou $x = 1$
5.4. Checagem do Conjunto Solução
É fundamental verificar se as soluções encontradas satisfazem as condições de domínio da função logarítmica, ou seja, se o argumento dos logaritmos é positivo.
Verificando o exemplo anterior:
Para $x = -3$:
$\log_3(-3)$ e $\log_3(-3+2) = \log_3(-1)$ não são definidos, pois os argumentos são negativos.
Para $x = 1$:
$\log_3(1)$ e $\log_3(1+2) = \log_3(2)$ são definidos, pois os argumentos são positivos.
Portanto, a solução é apenas $x = 1$.
6. Exemplos Resolvidos
Exemplo 1: Resolver $\log_4(3x-2) = 2$
Resolução:
Aplicando a forma exponencial:
$3x-2 = 4^2$
$3x-2 = 16$
$3x = 18$
$x = 6$
Verificação:
Para $x = 6$, temos $\log_4(3 \cdot 6-2) = \log_4(16) = 2$ ✓
Exemplo 2: Resolver $\log(x^2) = 4$
Resolução:
$x^2 = 10^4$
$x^2 = 10.000$
$x = \pm 100$
Verificação: Para $x = 100$ ou $x = -100$, temos $\log(100^2) = \log(10.000) = 4$ ✓
Ambos os valores satisfazem a equação, pois o argumento $x^2$ é sempre positivo.
Exemplo 3: Resolver $\log_2(x+7) – \log_2(x+1) = 3$
Resolução:
Aplicando a propriedade do quociente: $\log_2\left(\frac{x+7}{x+1}\right) = 3$
Forma exponencial: $\frac{x+7}{x+1} = 2^3$
$\frac{x+7}{x+1} = 8$
$x+7 = 8(x+1)$
$x+7 = 8x+8$
$-7x = 1$
$x = -\frac{1}{7}$
Verificação: Para $x = -\frac{1}{7}$, temos:
$\log_2(-\frac{1}{7}+7) = \log_2(\frac{48}{7})$
$\log_2(-\frac{1}{7}+1) = \log_2(\frac{6}{7})$
Ambos os argumentos são positivos.
$\log_2(\frac{48}{7}) – \log_2(\frac{6}{7}) = \log_2\left(\frac{48/7}{6/7}\right) = \log_2(8) = 3$ ✓
Exemplo 4: Resolver $\log_3(x) \cdot \log_9(x) = 2$
Resolução:
Usando a propriedade de mudança de base: $\log_9(x) = \frac{\log_3(x)}{\log_3(9)} = \frac{\log_3(x)}{2}$
Substituindo: $\log_3(x) \cdot \left(\frac{\log_3(x)}{2}\right) = 2$
$\frac{(\log_3(x))^2}{2} = 2$
$(\log_3(x))^2 = 4$
$\log_3(x) = \pm 2$
Se $\log_3(x) = 2$:
$x = 3^2 = 9$
Se $\log_3(x) = -2$:
$x = 3^{-2} = \frac{1}{9}$
Verificação: Para ambos os valores, substituindo na equação original, temos 2 ✓
Exemplo 5: Resolver $\log_2(\log_3(x)) = 0$
Resolução:
$\log_2(\log_3(x)) = 0$
Forma exponencial: $\log_3(x) = 2^0 = 1$
Aplicando novamente a forma exponencial: $x = 3^1 = 3$
Verificação: Para $x = 3$, temos $\log_3(3) = 1$ e $\log_2(1) = 0$ ✓
Exemplo 6: Resolver $\log_5(x-1) + \log_5(x+1) = \log_5(x^2-1) + 1$
Resolução:
Aplicando a propriedade do produto: $\log_5((x-1)(x+1)) = \log_5(x^2-1) + 1$
Simplificando o lado esquerdo: $\log_5(x^2-1) = \log_5(x^2-1) + 1$
$0 = 1$ (impossível)
Esta equação não possui solução, pois chegamos a uma contradição.
7. Exercícios
Exercício 1: Resolva a equação $\log_2(x) + \log_2(x-3) = 4$.
Resposta: $x = 5,77$
Exercício 2: Encontre o valor de $x$ na equação $\log(5x-4) = 1$.
Resposta: $x = 2,8$
Exercício 3: Resolva a equação $\log_3(x+2) – \log_3(x-1) = 1$.
Resposta: $x = 2,5$
Exercício 4: Determine os valores de $x$ que satisfazem $2 \cdot \log_4(x) = \log_4(x^2) + 1$.
Resposta: $0 = 1$, não há solução para a equação dada.
Exercício 5: Resolva a equação $\log_{1/2}(2x-1) = -3$.
Resposta: $x = 4,5$
Exercício 6: Determine o valor de $x$ na equação $\log_2(\log_3(x)) = 1$.
Resposta: $x = 9$
8. Aplicações Práticas das Equações Logarítmicas
Crescimento Populacional
A população de bactérias frequentemente cresce de acordo com um modelo exponencial. Se $P(t)$ representa o número de bactérias no tempo $t$, então:
$$P(t)=P_0e^{kt}$$
Onde $P_0$ é a população inicial e $k$ é a taxa de crescimento. Para encontrar o tempo necessário para a população dobrar, precisamos resolver:
$$P_0e^{kt}=2P_0$$
$$e^{kt}=2$$
$$kt=ln(2)$$
$$t=\frac{ln(2)}{k}$$
Decaimento Radioativo
A quantidade remanescente de um isótopo radioativo após $t$ anos é dada por:
$$N(t)=N_0e^{−λt}$$
Onde $N_0$ é a quantidade inicial e $\lambda$ é a constante de decaimento. Para encontrar a meia-vida (tempo necessário para metade do material decair), resolvemos:
$$N_0e^{−λt}=\frac{N_0}{2}$$
$$e^{−λt}=\frac{1}{2}$$
$$−λt=ln(\frac{1}{2})$$
$$-λt=-ln(2)$$
$$λt=ln(2)$$
$$t=\frac{ln(2)}{λ}$$
Juros Compostos
Se um investimento inicial $P$ cresce a uma taxa de juros $r$ (em decimal) composta continuamente, o valor após $t$ anos será:
$$A=Pe^{rt}$$
Para determinar quanto tempo é necessário para que o investimento dobre de valor, resolvemos:
$$Pe^{rt}=2P$$
$$e^{rt}=2$$
$$rt=ln(2)$$
$$t=\frac{ln(2)}{r}$$
Exercício 1: Crescimento Populacional
Problema: Uma colônia de bactérias cresce seguindo o modelo exponencial $P(t) = P_0e^{kt}$, onde $P_0$ é a população inicial e $k = 0,35$ por hora é a taxa de crescimento. Se inicialmente há 1.000 bactérias, quanto tempo será necessário para que a população atinja 8.000 bactérias?
Resposta: Serão necessárias aproximadamente 5,94 horas, ou 5 horas e 56 minutos, para que a população de bactérias atinja 8.000.
Exercício 2: Decaimento Radioativo
Problema: Um material radioativo decai de acordo com a equação $N(t) = N_0e^{-\lambda t}$, onde $N_0$ é a quantidade inicial e $\lambda = 0,028$ por ano é a constante de decaimento. Se inicialmente havia 50 gramas desse material, quanto tempo levará para que reste apenas 20 gramas?
Resposta: Serão necessários aproximadamente 32,72 anos para que restem apenas 20 gramas do material radioativo.
Exercício 3: Juros Compostos
Problema: Um investimento inicial de R\$ 5.000,00 é aplicado a uma taxa de juros de 12% ao ano, com capitalização contínua segundo a fórmula $A = Pe^{rt}$, onde $P$ é o principal, $r$ é a taxa de juros e $t$ é o tempo em anos. Quanto tempo levará para que o investimento triplique de valor?
Resposta: Serão necessários aproximadamente 9,16 anos, ou 9 anos e 2 meses, para que o investimento triplique de valor.