Cálculo Diferencial – Visão Geral

1. Regras de Derivação

1.1. Regras básicas:

Função Constante	$$\frac{d}{dx}[c] = 0$$
Função Linear	$$\frac{d}{dx}[x] = 1$$
Função Potência	$$\frac{d}{dx}[x^n] = n \cdot x^{n-1}$$
Função Logaritmo Natural	$$\frac{d}{dx}[\ln(x)] = \frac{1}{x}$$
Função Seno	$$\frac{d}{dx}[\operatorname{sen}(x)] = \cos(x)$$
Função Cosseno	$$\frac{d}{dx}[\cos(x)] = -\operatorname{sen}(x)$$
Função Tangente	$$\frac{d}{dx}[\tan(x)] = \sec^2(x)$$

1.2. Regras de operações com funções:

Soma	$$\frac{d}{dx}[f(x) + g(x)] = f'(x) + g'(x)$$
Diferença	$$\frac{d}{dx}[f(x) - g(x)] = f'(x) - g'(x)$$
Regra do Produto	$$\frac{d}{dx}[f(x) \cdot g(x)] = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$$
Regra do Quociente	$$\frac{d}{dx}\left[\frac{f(x)}{g(x)}\right] = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g(x)^2}$$
Regra da Cadeia	$$\frac{d}{dx}[f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x)$$

A derivada $f'(a)$ representa a inclinação da reta tangente ao gráfico de $f(x)$ no ponto $(a, f(a))$.

Equação da reta tangente no ponto $(a, f(a))$ é dada por:

$$y−f(a)=f'(a)(x−a)$$

Exemplo: Encontre a equação da reta tangente à curva $f(x) = x^2$ no ponto $x = 2$.

Solução:

$f(2) = 2^2 = 4$

$f'(x) = 2x$, então $f'(2) = 4$

Equação da reta tangente: $y – 4 = 4(x – 2)$

Simplificando: $y = 4x – 4$

3.1. Análise de Crescimento e Decrescimento

3.2. Pontos Críticos e Extremos

Ponto crítico: É um ponto $x = n$ onde $f'(n) = 0$.

Teste da primeira derivada:

Se $f'(x)$ muda de positivo para negativo em $x = n$, então $f(n)$ é um máximo local.
Se $f'(x)$ muda de negativo para positivo em $x = n$, então $f(n)$ é um mínimo local.

Teste da segunda derivada:

3.3. Concavidade e Pontos de Inflexão

Se $f”(x) > 0$ no intervalo $(a,b)$, então $f$ é côncava para cima nesse intervalo.
Se $f”(x) < 0$ no intervalo $(a,b)$, então $f$ é côncava para baixo nesse intervalo.

Um ponto de inflexão ocorre em $x = n$ se $f”(n) = 0$ e $f”(x)$ muda de sinal em $x = c$.